Egy érdekes szélsőérték feladat

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség használata

Feladat:

Keressük neg az adott K kerületű egyenlőszárú háromszögek közül a legnagyobb területűt..

Megoldás:
A szélsőértékfeladatok megoldása során gyakran segítenek a közepek közötti egyenlőtlenségek. A nem negatív a és b számokra felírhatjuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

Ennek igaz voltáról négyzetre emelés és rendezés után könnyen meggyőződhetünk. És az a fontos tény is látszik, hogy egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a két szám egymással egyenlő.

Többek között Riesz Frigyes és Pólya György magyar matematikusok is nagyon szép bizonyítást találtak a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségre n darab nem negatív szám esetére.

Tekintsük ezt most az n = 4 esetre:

ahol egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a = b = c = d.

A feladatunkban szereplő háromszög kerülete:

és területe:

Mivel a terület értéke pozitív szám, ezért akkor lesz maximális, amikor a négyzete a legnagyobb lesz:

A jobb oldalon szereplő:

számok pozitívak amennyiben a háromszőg létezik, és a szorzatukat felölről tudjuk becsülni a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség segítségével:

Ezért azt kaptuk, hogy:

és

Itt a jobb oldal konstans és így a terőlet akkor lesz a legnagyobb, amikor a fenti négy szám egymással egyenlő, azaz, amikor a háromszög szabályos.