Ennek igaz voltáról négyzetre emelés és rendezés után könnyen meggyőződhetünk. És az a fontos tény is látszik, hogy egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a két szám egymással egyenlő.
Többek között Riesz Frigyes és Pólya György magyar matematikusok is nagyon szép bizonyítást találtak a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségre n darab nem negatív szám esetére.
Tekintsük ezt most az n = 4 esetre: