Hamis érmék

coins

1. feladat

Van három külsőre egyforma érménk és egy kétkarú mérlegünk súlyok nélkül. A kétkarú mérleggel azt tudjuk megállapítani, hogy a serpenyőkbe helyezett érmék súlya egyenlő, vagy melyik oldal a könnyebb. Az egyik érme hamis, különbözik a súlya különbözik a másik két érme súlyától. A valódi érmék súlya egyenlő. Válasszuk ki a hamis érmét és mondjuk meg, hogy könnyebb, vagy nehezebb, mint a valódi érme.

Megoldás:

Jelöljük az érméket 1, 2, és 3-mal. tegyük az 1-s érmét a bal, a 2-es érmét a jobb serpenyőbe.

Ha a mérleg egyenlő súlyt mutat, akkor a 3-as a hamis és egy második méréssel összehasonlítva a két valódi közül bármelyikkel, megtudjuk, hogy kisebb, vagy nagyobb a súlya annál.

Ha a mérleg azt mutatja, hogy a feltett érmék súlya különböző, akkor a 3-as érme biztosan valódi. Feltehetjük, hogy az 1-es érme könnyebb, mint a 2-es és cseréljük ki a 2-es érmét a 3-assal. Ha ezek súlya egyenlő, akkor a 2-es a hamis és nehezebb, mint a valódi. Ha pedig az 1-es könnyebb, mint a 3-as, akkor az 1-es a hamis és könnyeb, mint a valódi. Az 1-es nem lehet nehezebb, mint a 3-as, mert akkor mindhárom érme súlya különböző lenne.

Megjegzés: Mindegyik esetben két mérésre van szükség ahhoz, hogy megtaláljuk a hamis érmét és megmondjuk, könnyebb, vagy nehezebb, mint a valódi érme.

2. feladat

Az első feladathoz hasonlóan vannak hamis és valódi érméink. Most 12 érmeénk van, amiből egy hamis, vagy könnyebb, vagy nehezebb, mint a többi. Keressük meg maximum 3 méréssel a kétkarú mérleg segítségével (súlyok nélkül), hogy melyik a hamis és könnyeb, vagy nehezebb, mint a valódi érme.

Megoldás:

Számozzuk meg az érméket 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Az első méréssel hasonlítsuk össze az 1, 2, 3, 4 érméket az 5, 6, 7, 8 érmékkel.

- Ha a mérleg egyenlő súlyt mutat, akkor van 8 darab érménk amelyek biztosan valódiak.

A maradék 4 érméből válasszunk ki 3-at és hasonlítsuk össze 3 valódi érmével::
9, 10, 11 és 1, 2, 3.

Ha ezek súlya egyenlő, akkor a hamis érme a 12-es. A harmadik mérés segítséével ezt összehasonlítva egy valódi érmével, megkapjuk, hogy könnyebb, vagy nehezebb annál.
Ha a súly nem egyenlő, akkor rögtön tudjuk, hogy a hamis könnyebb, vagy nehezebb a vlódi érménél, de még ki kell ezt választani. A három érméből kettőt kiválasztva és összehasonlítva, megkapjuk, hogy melyik a hamis, hiszen már tudjuk, hogy az könnyebb, vagy nehezebb a valódinál.

- Ha az első mérésnél az eredmény azt mutatja, hogy a feltett érmék súlya nem egyenlő, akkor tudjuk, hogy a maradék négy érme: 9, 10, 11, 12 valódi. 2 mérésből kell megállapítanunk, hogy a 8 érméből melyik a hamis.

Feletehetjük, hogy a mérleg azt mutatja, hogy az 1, 2, 3, 4 érmék könnyebbek az 5, 6, 7, 8 érméknél.

Hasonlítsuk össze most az 1, 5, 9, 11 érméket a 2, 3, 6, 7 érmékkel!

Három esetet kell megkülönböztetni.

a) Ha az 1, 5, 9, 11 és a 2, 3, 6, 7 súlya egyenlő, akkor ezek valódiak és vagy a 4-es, vagy a 8-es a hamis. De tudjuk, hogy a 4-es könnyebb, mint a 8-as, ezért elég valamelyiket összehasonlítani egy valódi érmével és megkapjuk a hamisat és annak a súlyviszonyát.

b) Ha az 1, 5, 9, 11 nehezebb, mint a 2, 3, 6, 7, akkor a 6, 7 és az 1 érme nem lehet hamis, hiszen akkor az első mérés szerint nehezebbek, a második szerint pedig könnyebbek lennének a valódinál. Ezért a hamis érme vagy az 5-ös és súlyosabb, mint a valódi, vagy pedig a hamis érme a 2-es és akkor az könnyebb, mint a valódi, vagy pedig a hamis a 3-as és könnyebb, mint a valódi. Elegendő ekkor összehasonlítani a 2-es és a 3-as érméket. Ha valamelyik könnyeb, akkor az a hamis, ha pedig egyenlőek, akkor az 5-ös a hamis.

c) Végezetül, ha az 1, 5, 9, 11 könnyebb, mint a 2, 3, 6, 7, akkor a 2, 3 és 5 valódi. Ekkor az 1-es érme lehet hamis és könnyebb, mint a valódi, vagy a 6-os lehet hamis és nehezebb, mint a valódi, vagy pedig a 7-es lehet hamis és nehezebb, mint a valódi. A 6-os és 7-es érme súlyát összehasonlítva megkapjuk a hamisat.

Tehát 3 mérés minden esetben elegendő volt.

 

Megjegyzés: A következő feladat különösen érdekes lehet ha előtte részletesen megbeszéltük az előző két feladatot.

3. feladat

Van 10 darab dobozunk, mindegyikben van 10-10 érme és adott egy egykarú mérleg. Tetszőleges számú érme súlyát meg tudjukmérni a mérleggel. Tudjuk, hogy 9 dobozban valódi érmék vannak, és mindegyik súlya 10 egység. De az egyik dobozban csipa hamis érme van, mindegyik súlya 9 egység. Mennyi a elgkevesebb mérésszám, amennyivel meg tudjuk találni a hamis érméket tartalmazú dobozt?

Megoldás:

Jelöljük meg a dobozokat: 1, 2, 3, … 10. Vegyünk 1 érmét az 1-es dobozból, vegyünk 2 érmét a 2-es dobozból, ... végül 10 darab érmét a 10-es dobozból. Helyezzük ezeket az érméket a mérlegre és mérlyük meg a súlyukat. Ha mindegyik érme valódi lenne, akkor az össz súly : 10 +20 +…+ 100 = 550 (egység) lenne.
Ha ahamis érmék az 1-es dobozban vannak, akkor az össz súly 1-gyel kevesebb lesz, mint 550.
Ha a hamis érmék a 2-es dobozban vannak, akkor 2-vel lesz kevesebb aa mért súly, mint 550. ...

Tehát egyetlen méréssel meg lehet találni azt a dobozt, amiben a hamis érmék vannak.