A klasszikus izopermietrikus probléma

Adott kerületű síkidomok közül melyiknek legnagyobb a területe?

Jacob Steiner (1796 – 1863) scájci matematikus több nagyon szellemes és szép bizonytást is adott arra, hogy a kör a feladat megoldása. Dirichlet, német matematikus felhívta a figyelmét, hogy bizonyításainak azonban van egy hiányossága.

Lássuk Steiner egyik bizonyítását.

Három esetet különböztetett meg.


1. Könnyen belátható, hogy a legnagyobb területű síkidom konkáv nem lehet. Tekintsük ugyanis a konkáv alakzatot tartalmazó legkisebb területű konvex síkidomot (ezt szokták konvex buroknak is nevezni), ennek területe nagyobb, kerülete viszont kisebb (két pontot összekötő vonalak között az egyenes szakasz a legrövidebb). A konvex síkidomot nagyítsuk most akkorára, hogy kerülete megegyezzék a kiindulási konkáv síkidoméval. Ekkor területe is nagyobb lesz. Így a konkáv síkidomhoz találtunk egy ugyanakkora kerületű, de nagyobb területű konvex síkidomot.


2. Tekintsük most azokat a síkidomokat, amelyeknek van olyan húrja, amelyik felezi a síkidom kerületét, de nem felezi a területét. Ilyen esetben hagyjuk el a kerületfelező húr által lemetszett kisebbik területű részt, a másikat pedig tükrözzük a húr egyenesére. Így egy olyan (nem feltétlenül konvex) síkidomhoz jutunk, amelyiknek a kerülete ugyanakkora, a területe viszont nagyobb, mint a kiindulási síkidomé.


3. Végezetül vizsgáljuk az összes olyan, a körtől különböző síkidomot,
amelyikben minden kerületfelező húr a területet is felezi. Példaként megemlítek néhányat: szabályos hatszög, négyzet, ellipszis, …
Ebben az esetben is mutatunk egy olyan eljárást, aminek eredményeképpen a kerület nagysága nem változik, a terület viszont nő.
Az ábrán látható AB húr felezi a síkidom területét és kerületét is. Mivel a körtől különböző síkidomról van szó, ezért a kerületén található olyan P pont, ahonnan a húr nem derékszögben látszik. Rögzítsük a P pontból a húr végpontjaiba húzott szakaszok hosszát, és ragasszuk hozzájuk az ábrán kék színnel jelölt részeket.

Változtassuk most a P-nél levő szöget derékszögre. Az így kapott derékszögű háromszöget a befogóihoz ragasztott kék színű részekkel együtt tükrözzük az
átmérő egyenesére.
A kerület nagysága eközben ugyanakkora maradt! A terület viszont nőtt, hiszen a besatírozott részek területe nem változott, a háromszög területe pedig nagyobb lett (a két rögzített hosszúságú szakasz közül valamelyiket alapnak tekintve, a hozzá tartozó magasság a derékszögű háromszögben a másik szakasz, az eredeti háromszögben pedig ennél kisebb).

“Tehát az ugyanakkora kerületű síkidomok között a kör területe a legnagyobb.” - állította Steiner.

Igazán szemet gyönyörködtető egyszerűséggel jutott el a megoldáshoz.
Gondolatmenete szellemes, könnyen érthető. Azonban hiányzik a gondolatmenetből annak igazolása, hogy valóban létezik a feladatnak megoldása. Ennek megoldása nem is olyan egyszerű, számtalan bizonyítás született már rá magasabb matemaztikai eszközökkel, de igazán elemi megoldást a mai napig senki sem talált.