A Minkowski-egyenlőtlenségről

 

1. Feladat

Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget a pozitív a, b, e, f számokra. Mikor teljesül az egyenlőtlenség?

Megoldás:

Kétszer négyzetre emelve mindkét oldalt, rendezés után azt kapjuk, hogy:

A két egyenlőtlenség ekvivalens, az utóbbi pedig nyílvánvalóan igaz és egyenlőség akkor áll fenn, amikor:

2. Feladat

Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget a pozitív a, b, c, e, f, g számokra. Mikor teljesül az egyenlőtlenség?

Megoldás:

Az előző megoldási módszer most nem túl biztató, jobb ha másképpen próbálkozunk.

Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszer első negyedében az origóból induló ABCD törött vonalat, amelyik olyan, hogy mindegyik csúcspontjának első, illetve
második koordinátája is nagyobb mint az őt megelőző pont (ha van ilyen) első, illetve második koordinátája. Jelöljük az AB, BC, CD szakaszoknak az egyik tengelyre vett merőleges vetületét a, b, c-vel, a másik tengelyre vett merőleges vetőletét pedig e, f, g-vel. A bizonyítandó egyenlőtlenség ekkor éppen azt jelenti, hogy az AD szakasz hossza (jobb oldal) nem lehet nagyobb, mint a törött vonal hossza (bal oldal).

Az egyenlőség pedig csak akkor teljesül, ha az ABCD törött vonal egy egyenes szakasz, azaz amikor mindegyik szakasz iránytangense ugyanakkora.

1. Megjegyzés

Az utóbbi módszerrel hasonlóan bizonyíthatjuk az egyenlőtlenséget kétszer n darab pozitív számra:

ahol egyenlőség csakis akkor áll fenn, ha:

Megjegyzés 2

Ez a Minkowski-egyenlőtlenség egy speciális esete.